通过分离变量的方式，利用导数研究对应函数在相应区间上的最值进行求解即可，由于在分离变量时，需除以 $x^3$，而所给区间又含有正数、零和负数的值，所以要对 $x$ 进行分类讨论．① 当 $x=0$ 时，不等式显然成立；
② 当 $x\in\left[-2,0\right)$ 时，不等式等价于\[a\leqslant \dfrac 1x-\dfrac 4{x^2}-\dfrac 3{x^3},\]令 $t=\dfrac 1x$，则不等式等价于\[a\leqslant -3t^3-4t^2+t,t\in\left(-\infty,-\dfrac 12\right].\]令 $f\left(t\right)=-3t^3-4t^2+t,t\in\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$，则\[f'\left(t\right)=-9t^2-8t+1,\]当 $t<-1$ 时，$f\left(t\right)$ 单调递减；当 $-1<t<-\dfrac 12$ 时，$f\left(t\right)$ 单调递增．
所以\[f\left(t\right)\geqslant f\left(-1\right)=-2,\]于是\[a\leqslant -2.\]③ 当 $x\in\left(0,1\right]$ 时，不等式等价于\[a\geqslant \dfrac 1x-\dfrac 4{x^2}-\dfrac 3{x^3},\]令 $t=\dfrac 1x$，则不等式等价于\[a\geqslant -3t^3-4t^2+t,t\in\left[1,+\infty\right).\]令 $g\left(t\right)=-3t^3-4t^2+t,t\in\left[1,+\infty\right)$，则\[g'\left(t\right)=-9t^2-8t+1,\]函数 $g\left(t\right)$ 在 $\left[1,+\infty\right)$ 上单调递减．
所以\[g\left(t\right)\leqslant g\left(1\right)=-6,\]于是\[a\geqslant -6.\]综上，$a$ 的取值范围是 $\left[ { - 6, - 2} \right]$．