在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\overrightarrow a $，$\overrightarrow b$，$ \left|\overrightarrow a \right| = \left|\overrightarrow b \right| = 1$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b = 0$，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow {OQ} = \sqrt 2 \left(\overrightarrow a + \overrightarrow b \right)$．曲线 $C = \left\{ P\left|\overrightarrow {OP} = \overrightarrow a \cos \theta + \overrightarrow b \sin \theta ,0 \leqslant \theta < 2{\mathrm \pi} \right. \right\} $，区域 $\Omega = \left\{ P\left|0 < r \leqslant {\left| \overrightarrow {PQ}\right| }\right. \leqslant R,r < R\right\} $．若 $C \cap \Omega $ 为两段分离的曲线，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据向量的线性运算知，点 $Q$ 是以 $O$ 为圆心，$2$ 为半径的圆上的一个定点，对曲线 $C$ 的集合满足的条件进行平方运算，可以得到曲线 $C$ 为单位圆，结合圆与圆的位置关系即可分析出 $C \cap \Omega $ 为两段分离曲线时需满足的条件．设 $\overrightarrow a = \left(1,0\right)$，$ \overrightarrow b = \left(0,1\right)$，由平面向量的运算，得\[\begin{split}\overrightarrow {OQ} &= \sqrt 2 \left(\overrightarrow a +\overrightarrow b \right) \\&= \left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right) , \\ \overrightarrow {OP} &= \overrightarrow a \cos \theta + \overrightarrow b \sin \theta \\&= \left(\cos \theta ,\sin \theta \right),\end{split}\]所以 $ P $ 点轨迹为单位圆．\[\begin{split} \left|\overrightarrow {PQ} \right| & = \sqrt {{{\left(\cos \theta - \sqrt 2 \right)}^2} + {{\left(\sin \theta - \sqrt 2 \right)}^2}} \\& = \sqrt {5 - 4\sin \left(\theta + \frac{{\mathrm \pi} }{4}\right)} \in \left[1,3\right],\end{split}\]所以区域 $\Omega $ 为以 $Q\left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right)$ 为圆心，内径为 $r$ 外径为 $ R $ 的圆环．
如图所示，因为 $C \cap \Omega $ 为两段分离的曲线，所以有 $1 < r < R < 3$．
如图所示，因为 $C \cap \Omega $ 为两段分离的曲线，所以有 $1 < r < R < 3$．
题目
答案
解析
备注
