函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)={\rm e}^x-a,$$于是有极小值点 $x=\ln a$，而极小值为 $a\left(1-\ln a\right)$．于是根据题意，极小值应小于 $0$，从而 $a>{\rm e}$，选项 A 正确．下面分析选项 B、C、D．根据题意有$$\begin{cases} x_1=\ln a+\ln x_1,\\ x_2=\ln a+\ln x_2,\end{cases} $$两式相减，得$$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1,$$于是$$\sqrt{x_1x_2}<1<\dfrac{x_1+x_2}2,$$即$$\begin{cases} x_1\cdot x_2<1,\\ x_1+x_2>2,\end{cases} $$选项 B 正确，而选项 C 错误．对于选项 D，根据题意 $x_0=\ln a$，而$$x_1+x_2=2\ln a+\ln\left(x_1x_2\right),$$结合对选项 C 的分析，可知选项 D 正确．
综上，符合题意的选项为 C．