从椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ${F_1}$，$A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，$B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $AB \parallel OP$（$O$ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据平行可想到利用相似三角形知识得到 $ a$，$b $，$c $ 之间的比例关系，再结合椭圆中的隐含关系式 $ a^2=b^2+c^2 $ 即可解得离心率的值．根据题意，
知 $ \triangle AOB \backsim \triangle OF_1P $，所以\[ \dfrac {OA}{OB}=\dfrac {F_1O}{F_1P},\]即\[\dfrac {a}{b}\overset {\left[a\right]}=\dfrac {c}{\dfrac {b^2}{a}}, \]（推导中用到 $\left[a\right]$．）得 $b=c $，又因为 $ a^2=b^2+c^2 $，所以椭圆的离心率为 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2 }{2} $．
知 $ \triangle AOB \backsim \triangle OF_1P $，所以\[ \dfrac {OA}{OB}=\dfrac {F_1O}{F_1P},\]即\[\dfrac {a}{b}\overset {\left[a\right]}=\dfrac {c}{\dfrac {b^2}{a}}, \]（推导中用到 $\left[a\right]$．）得 $b=c $，又因为 $ a^2=b^2+c^2 $，所以椭圆的离心率为 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2 }{2} $．
题目
答案
解析
备注
