利用弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形进行求解．因为圆 ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$ 的圆心为 $ \left(1,2\right) $，半径 $r=\sqrt 5 $，而点 $ \left(1,2\right) $ 到直线 $x + 2y - 5 + \sqrt 5 = 0$ 的距离为\[ d\overset {\left[a\right]}=\dfrac {|1\cdot 1+2\cdot 2-5+\sqrt 5|}{\sqrt {1^2+2^2}}=1,\]（推导中用到 $\left[a\right] $．）所以直线 $x + 2y - 5 + \sqrt 5 = 0$ 被圆 ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$ 截得的弦长为 $2\sqrt {r^2-d^2}=4 $．