已知点 $A\left(2,0\right)$，抛物线 $C$：${x^2} = 4y$ 的焦点为 $F$，射线 $FA$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $M$，与其准线相交于点 $N$，则 $ \left|FM \right|:\left|MN \right| = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考江西卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，然后解相应的直角三角形即可．如图，过点 $ M $ 作准线 $y=-1 $的垂线，垂足为 $ H $．
根据抛物线的定义，知 $ \left|MH \right|= \left|FM \right| $，故\[ \left|FM \right|:\left|MN \right| = \left|MH \right|:\left|MN \right|. \]因为 $ F\left(0,1\right) $，$A\left(2,0\right)$，所以 $ \sin \angle OAF=\dfrac {\sqrt 5}{5} $．在 $ \triangle NHM $ 中，因为\[ \left|MH \right|:\left|MN \right|=\sin \angle HNM=\dfrac {\sqrt 5}{5}. \]所以 $ \left|FM \right|:\left|MN \right| =1:\sqrt 5 $．
根据抛物线的定义，知 $ \left|MH \right|= \left|FM \right| $，故\[ \left|FM \right|:\left|MN \right| = \left|MH \right|:\left|MN \right|. \]因为 $ F\left(0,1\right) $，$A\left(2,0\right)$，所以 $ \sin \angle OAF=\dfrac {\sqrt 5}{5} $．在 $ \triangle NHM $ 中，因为\[ \left|MH \right|:\left|MN \right|=\sin \angle HNM=\dfrac {\sqrt 5}{5}. \]所以 $ \left|FM \right|:\left|MN \right| =1:\sqrt 5 $．
题目
答案
解析
备注
