对于三角函数问题，统一角度是核心，之后若齐次，则化为正弦型函数处理；若非齐次，一般通过换元结合函数单调性处理．函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)=1-\dfrac 23\cos 2x+a\cos x=-\dfrac 43\cos^2x+a\cos x+\dfrac 53,\]根据题意有 $\forall x\in\mathbb R,f'\left(x\right)\geqslant 0$，令 $t=\cos x$，则上述命题即\[\forall t\in \left[-1,1\right],4t^2-3at-5\leqslant 0,\]由于二次函数 $g\left(t\right)=4t^2-3at-5$ 的开口向上，因此只需要\[\begin{cases} g\left(-1\right)\leqslant 0,\\ g\left(1\right)\leqslant 0\end{cases} \]即可，解得 $-\dfrac 13\leqslant a\leqslant \dfrac 13$，选C．