已知函数 $f\left(x\right)=\sin\left(\omega x+\varphi\right)\left(\omega>0,|\varphi|\leqslant\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$，$x=-\dfrac{\mathrm \pi} {4}$ 为 $f\left(x\right)$ 的零点，$x=\dfrac{\mathrm \pi} {4}$ 为 $y=f\left(x\right)$ 图象的对称轴，且 $f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {18},\dfrac{5{\mathrm \pi} }{36}\right)$ 单调，则 $\omega$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题中已知得出三角函数周期的限制条件，再结合题意分析得出周期的可能取值．由题意知\[\left(\dfrac 12k+\dfrac 14 \right)T\overset{\left[a\right]}=\dfrac {\mathrm \pi} {4}-\left(-\dfrac {\mathrm \pi} {4} \right),k\in\mathbb Z,\]（推导中用到[a]）
解得\[\omega=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{T}=2k+1,k\in\mathbb{Z}.\]（也可以由\[\begin{cases} -\dfrac {\mathrm \pi} {4}\omega+\varphi=m{\mathrm \pi} ,\\\dfrac {\mathrm \pi} {4}\omega+\varphi=n{\mathrm \pi} +\dfrac {\mathrm \pi} {2},\end{cases}m,n\in\mathbb{Z}\]两式相减得到 $\omega$．）
又因为 $f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {18},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36} \right)$ 单调，所以\[T=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega}=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{2k+1}\geqslant 2\left(\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}-\dfrac {\mathrm \pi} {18} \right),k\in\mathbb Z,\]于是 $k\leqslant \dfrac{11}2$，从大到小进行试探：
当 $k=5$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {18},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}\right)$ 不单调（因为 $\dfrac {\mathrm \pi} {18}<\dfrac {\mathrm \pi} {4}-T<\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}$）；
当 $k=4$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {36},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}\right)$ 上单调，符合题意，所以 $\omega$ 的最大值为 $9$．
解得\[\omega=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{T}=2k+1,k\in\mathbb{Z}.\]（也可以由\[\begin{cases} -\dfrac {\mathrm \pi} {4}\omega+\varphi=m{\mathrm \pi} ,\\\dfrac {\mathrm \pi} {4}\omega+\varphi=n{\mathrm \pi} +\dfrac {\mathrm \pi} {2},\end{cases}m,n\in\mathbb{Z}\]两式相减得到 $\omega$．）
又因为 $f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {18},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36} \right)$ 单调，所以\[T=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega}=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{2k+1}\geqslant 2\left(\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}-\dfrac {\mathrm \pi} {18} \right),k\in\mathbb Z,\]于是 $k\leqslant \dfrac{11}2$，从大到小进行试探：
当 $k=5$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {18},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}\right)$ 不单调（因为 $\dfrac {\mathrm \pi} {18}<\dfrac {\mathrm \pi} {4}-T<\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}$）；
当 $k=4$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac {\mathrm \pi} {36},\dfrac {5{\mathrm \pi} }{36}\right)$ 上单调，符合题意，所以 $\omega$ 的最大值为 $9$．
题目
答案
解析
备注
