$\because$ 函数 $f(x)=\lg \dfrac{1+2^x+4^x\cdot a}{3}$ 的定义域为 $(-\infty,1)$，$\therefore \dfrac{1+2^x+4^x\cdot a}{3}>0$ 在 $(-\infty,1)$ 上恒成立，即 $1+2^x+4^x\cdot a>0$ $\therefore a > -\dfrac{1+2^x}{4^x}=-(\dfrac{1}{2^x})^2-\dfrac{1}{2^x}=-(\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}$．因 $\because x \leqslant 1$，故 $\dfrac{1}{2^x}\geqslant\dfrac{1}{2}$，因此 $-(\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\leqslant -\dfrac{3}{4}$，故 $a>-\dfrac{3}{4}$．