本题的关键在于利用三角函数设出点 $P$ 的坐标，进而表示出点 $M$ 的坐标，最后利用三角函数的性质，得到答案．以 $A$ 为原点，$BC$ 边上的高为 $y$ 轴，建立直角坐标系，则 $B,C$ 两点坐标分别为 $B\left( 3,-\sqrt{3}\right),C\left( 3,\sqrt{3} \right),$，由 $\left|\overrightarrow{AP} \right|=1$，设 $P$ 点的坐标为 $\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$，其中 $\theta \in \left[0,2{\mathrm \pi} \right)$，而 $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，即 $M$ 是 $PC$ 的中点，可以写出 $M$ 的坐标为 $M\left( \dfrac{3+\cos\theta }{2},\dfrac{\sqrt{3}+\sin \theta }{2} \right)$，则\[{{\left|\overrightarrow{BM} \right|}^{2}}={{\left( \frac{\cos \theta -3}{2}\right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3\sqrt{3}+\sin \theta }{2}\right)}^{2}}=\frac{37+12\sin \left( \theta -\dfrac{\mathrm \pi} {6} \right)}{4}\leqslant\dfrac{37+12}{4}=\dfrac{49}{4},\]当 $\theta=\dfrac{2}{3}{\mathrm \pi} $ 时，${{\left| \overrightarrow{BM} \right|}^{2}}$取得最大值 $\dfrac{49}{4}$．