先用三角恒等变换公式整理函数关系式，再讨论分析正弦型函数性质即可．函数 $ f\left(x\right) $ 可以化简为 $ f\left(x\right)=\dfrac {\sqrt 2}2\sin\left(\omega x-\dfrac{\mathrm \pi} 4\right) $．
根据题意可知 $ f\left({\mathrm \pi} \right)\cdot f\left(2{\mathrm \pi} \right)\geqslant 0 $，且函数 $ f\left(x\right) $ 的半周期 $ \dfrac{\mathrm \pi} {\omega} $ 不小于区间 $ \left({\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} \right) $ 的长度 $ {\mathrm \pi} $．在得到 $ 0<\omega \leqslant 1 $ 后，可得在区间 $ \left({\mathrm \pi} ,2{\mathrm \pi} \right)$ 上 $\omega x-\dfrac{\mathrm \pi} 4\in\left(-\dfrac{\mathrm \pi} 4,\dfrac{7{\mathrm \pi} }4\right) $，讨论如下．
情形一：$ f\left({\mathrm \pi} \right)= 0 $ 或 $ f\left(2{\mathrm \pi} \right)= 0 $．
此时 $ \omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4=k_1{\mathrm \pi} $ 或 $ 2\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4=k_2{\mathrm \pi} $，其中 $ k_1,k_2\in\mathbb Z $．考虑到 $ \omega\in \left(0,1\right] $，于是解得 $ \omega=\dfrac 18,\dfrac 14,\dfrac 58 $．
情形二：$ f\left({\mathrm \pi} \right)> 0 $ 且 $ f\left(2{\mathrm \pi} \right)> 0 $．
此时\[ \begin{cases} 0< \omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4< {\mathrm \pi} ,\\ 0< 2\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4< {\mathrm \pi} ,\end{cases} \]解得 $ \dfrac 14<\omega< \dfrac 58 $．
情形三：$ f\left({\mathrm \pi} \right)< 0 $ 且 $ f\left(2{\mathrm \pi} \right)<0 $．
此时\[ \begin{cases}-\dfrac{\mathrm \pi} 4<\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4 <0 或 {\mathrm \pi} <\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4< \dfrac{7{\mathrm \pi} }4,\\ -\dfrac{\mathrm \pi} 4<2\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4 <0 或 {\mathrm \pi} < 2\omega {\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} 4< \dfrac{7{\mathrm \pi} }4,\end{cases} \]解得 $ 0 <\omega<\dfrac 18 $．
综上所述，$ \omega $ 的取值范围是 $ \left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right] $．