已知 $\triangle {ABC}$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D$，$E$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长到点 $F$，使得 $DE=2EF$，则 $\overrightarrow {AF } \cdot \overrightarrow {BC} $ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
先选用等边三角形 ${ABC}$ 的一组邻边为基底，来表示平面内的向量，然后根据数量积的定义求解即可．可以选择向量 $\overrightarrow {BA } $ 和 $ \overrightarrow {BC} $ 为基底求解．根据题意，可得\[\overrightarrow {AF }=\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }, \]所以\[\begin{split}\overrightarrow {AF } \cdot \overrightarrow {BC}&=\left(\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }\right)\cdot \overrightarrow {BC}\\&=\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }\cdot \overrightarrow {BC}-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }\cdot \overrightarrow {BC}\\&=\dfrac 34-\dfrac 54\times \dfrac 12=\dfrac 18.\end {split}\]即 $\overrightarrow {AF } \cdot \overrightarrow {BC} $ 的值为 $\dfrac 18$．
题目
答案
解析
备注
