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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点为 $F$，点 $A$ 在双曲线的渐近线上，$\triangle OAF$ 是边长为 $2$ 的等边三角形（$O$ 为原点），则双曲线的方程为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$
B: $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=1$
C: $\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$
D: $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$
【难度】
【出处】
2017年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
设双曲线的半焦距为 $c$，则根据题意，有$$c=|OF|=2,\dfrac{b}{a}=\tan60^\circ=\sqrt3,$$再结合 $c^2=a^2+b^2$，解得 $a=1$，$b=\sqrt3$，因此方程为 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$．
题目 答案 解析 备注
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