已知函数 $f(x)=\begin{cases}|x|+2,&x<1\\x+\dfrac2x,&x\geqslant1\end{cases}$，设 $a\in\mathbb R$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\geqslant\left|\dfrac{x}{2}+a\right|$ 在 $\mathbb R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
画出两个函数的图象，通过数形结合也可以快速求解此题．根据题意，有\[-f(x)-\dfrac x2\leqslant a\leqslant f(x)-\dfrac x2,\]而\[f(x)-\dfrac x2=\begin{cases}-\dfrac 32x+2,&x<0,\\ \dfrac x2+2,& 0\leqslant x<1,\\ \dfrac x2+\dfrac 2x,&x\geqslant 1,\end{cases}\]其最小值为 $2$；另一方面，有\[-f(x)-\dfrac x2=\begin{cases} \dfrac x2-2,&x<0,\\ -\dfrac 32x-2,& 0\leqslant x<1,\\ -\dfrac{3x}2-\dfrac 2x,&x\geqslant 1,\end{cases}\]其最大值为 $-2$．综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-2,2]$．
题目
答案
解析
备注
