在集合 $\left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\overrightarrow \alpha = \left(a,b\right)$．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积不超过 $4$ 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\dfrac{m}{n} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
以原点为起点的向量 $\overrightarrow \alpha = \left(a,b\right)$ 和 $\overrightarrow \beta= \left(c,d\right)$ 构成的平行四边形的面积为 $ S=|ad-bc| $．根据乘法原理，得向量个数为 $ 2\times 3=6 $，且它们任意两个不共线，所以可以构成平行四边形 ${\mathrm C}_6^2=15 $ 个．由以原点为起点的向量 $\overrightarrow \alpha = \left(a,b\right)$ 和 $\overrightarrow \beta= \left(c,d\right)$ 构成的平行四边形的面积为 $ S=|ad-bc| $，得到面积不超过 $4$ 的平行四边形有 $ 5 $ 个，分别是 $ \left(2,1\right) $ 与 $ \left(2,3\right)$；$ \left(2,1\right) $ 与 $ \left(4,1\right) $；$ \left(2,1\right) $ 与 $ \left(4,3\right) $；$ \left(2,3\right) $ 与 $ \left(2,5\right)$；$ \left(2,3\right)$ 与 $ \left(4,5\right)$，故 $\dfrac{m}{n} =\dfrac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
