某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（$材料的利用率=\dfrac{新工件的体积}{原工件的体积}$） \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2015年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
当正方体内接与圆锥时，体积最大．由工件的三视图知此工件为圆锥．
如图，其中圆锥的高 $SO=2\sqrt 2$，底面半径 $OA=1$．
设其内接正方体的棱长为 $x$，则\[\dfrac{\sqrt2x}{2}=\dfrac{2\sqrt2-x}{2\sqrt2},\]解得 $x=\dfrac{2\sqrt2}{3}$，所以\[V_{新工件}=x^3=\dfrac{16\sqrt2}{27}.\]又原工件的体积\[V_{原工件}=\dfrac13\cdot S_{底面}\cdot h=\dfrac{2\sqrt2{\mathrm \pi} }{3},\]所以\[\dfrac{V_{新工件}}{V_{原工件}}=\dfrac{8}{9{\mathrm \pi} }.\]
如图，其中圆锥的高 $SO=2\sqrt 2$，底面半径 $OA=1$．设其内接正方体的棱长为 $x$，则\[\dfrac{\sqrt2x}{2}=\dfrac{2\sqrt2-x}{2\sqrt2},\]解得 $x=\dfrac{2\sqrt2}{3}$，所以\[V_{新工件}=x^3=\dfrac{16\sqrt2}{27}.\]又原工件的体积\[V_{原工件}=\dfrac13\cdot S_{底面}\cdot h=\dfrac{2\sqrt2{\mathrm \pi} }{3},\]所以\[\dfrac{V_{新工件}}{V_{原工件}}=\dfrac{8}{9{\mathrm \pi} }.\]
题目
答案
解析
备注
