命题 ①，常函数既不是增函数也不是减函数的函数，故可以构造分段函数，举出反例；命题 ②，可以通过解方程，将函数用周期函数表示出．① 为假命题，我们可以如下构造反例．将定义域 $ \mathbb R $ 分为三段，函数 $ f\left(x\right) $ 在第一段上是水平的射线（若要构造严格单调的反例，可以将水平的线段或射线改为斜率为 $ -1 $ 的线段或射线，斜率为 $ 1 $ 的线段或射线改为斜率为 $ 2 $ 的线段或射线．），函数 $ g\left(x\right) $ 在第二段上是水平的线段，函数 $ h\left(x\right) $ 在第三段上是水平的射线，而在其余的部分，三个函数均为斜率为 $ 1 $ 的线段或射线．那么在每一段上，$ f\left(x\right)+g\left(x\right),g\left(x\right)+h\left(x\right),h\left(x\right)+f\left(x\right) $ 均为斜率为 $ 1 $ 或 $ 2 $ 的线段或射线，如图．② 为真命题．令\[\begin{split}F\left(x\right)&=f\left(x\right)+g\left(x\right),\\G\left(x\right)&=f\left(x\right)+h\left(x\right),\\H\left(x\right)&=g\left(x\right)+h\left(x\right),\end{split}\]是以 $ T $ 为周期的函数，同理 $ g\left(x\right),h\left(x\right) $ 也是以 $ T $ 为周期的函数．
综上所述，选D．