已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的左焦点，$A,B$ 分别为 $C$ 的左，右顶点．$P$ 为 $C$ 上一点，且 $PF\perp x$ 轴，过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $PF$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $E$．若直线 $BM$ 经过 $OE$ 的中点，则 $C$ 的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题考查椭圆的离心率，根据 $MF\parallel OE$，可考虑利用相似列出比例式解题．记 $OE$ 的中点为 $N$，如图．
因为 $MF\parallel OE$，所以有\[\dfrac {ON}{MF}=\dfrac {a}{a+c},\dfrac {MF}{OE}=\dfrac {a-c}{a}.\]又因为 $|OE|=2|ON|$，所以有\[\dfrac 12=\dfrac {a}{a+c}\cdot\dfrac {a-c}{a},\]解得 $ e=\dfrac ca=\dfrac 13$
因为 $MF\parallel OE$，所以有\[\dfrac {ON}{MF}=\dfrac {a}{a+c},\dfrac {MF}{OE}=\dfrac {a-c}{a}.\]又因为 $|OE|=2|ON|$，所以有\[\dfrac 12=\dfrac {a}{a+c}\cdot\dfrac {a-c}{a},\]解得 $ e=\dfrac ca=\dfrac 13$
题目
答案
解析
备注
