设直线 $l_1,l_2$ 分别是函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}-\ln x,&0<x<1,\\\ln x,&x>1\end{cases}$ 图象上点 $P_1,P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1,l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A,B$，则 $\triangle PAB$ 的面积的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题的关键在于分析出点 $P_1$ 和 $P_2$ 分别在分段函数的不同的两段上．接下来通过导数求出切线方程，表达出点 $A,B,P$ 的坐标，进而表达出面积即可．由于 $\left(-\ln x\right)'=-\dfrac 1x<0$，而 $\left(\ln x\right)'=\dfrac 1x>0$，于是若两条切线互相垂直，则切点必然分别位于图象在 $\left(0,1\right)$ 和 $\left(1,+\infty\right)$ 的部分，如图．
设 $P_1\left(t,-\ln t\right)$（$0<t<1$），则不难计算得 $P_2\left(\dfrac 1t,-\ln t\right)$，两条切线分别为\[l_1:y=-\dfrac 1tx+1-\ln t,l_2:y=tx-1-\ln t,\]进而可得 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot x_P\cdot |AB|=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},\]其取值范围是 $\left(0,1\right)$，选A．
设 $P_1\left(t,-\ln t\right)$（$0<t<1$），则不难计算得 $P_2\left(\dfrac 1t,-\ln t\right)$，两条切线分别为\[l_1:y=-\dfrac 1tx+1-\ln t,l_2:y=tx-1-\ln t,\]进而可得 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot x_P\cdot |AB|=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},\]其取值范围是 $\left(0,1\right)$，选A．
题目
答案
解析
备注
