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在平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=60^\circ$，$AD=2AB$，若 $P$ 是平面 $ABCD$ 内一点且满足 $x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow 0(x,y\in\mathbb R)$，则当点 $P$ 在以 $A$ 为圆心，$\dfrac{\sqrt 3}{3}\left|\overrightarrow{BD}\right|$ 为半径的圆上时，$x,y$ 应满足的关系式为 \((\qquad)\)
A: $4x^2+y^2+2xy=1$
B: $4x^2+y^2-2xy=1$
C: $x^2+4y^2-2xy=1$
D: $x^2+4y^2+2xy=1$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    点在圆上的向量表达
【答案】
D
【解析】
如图，不妨设 $AD=2AB=2$，则 $BD=\sqrt 3$，于是圆的半径为 $1$．由于$$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD},$$于是$$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP}=\left(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}\right),$$化简得$$x^2+4y^2+2xy=1,$$因此选D．
题目 答案 解析 备注
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