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直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 垂直，垂足是 $O$，正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $4$，点 $C$ 在平面 $\alpha$ 上运动，点 $B$ 在直线 $m$ 上运动，则点 $O$ 到直线 $AD$ 的距离的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[\dfrac{4\sqrt 2-5}{2},\dfrac{4\sqrt 2+5}{2}\right]$
B: $\left[2\sqrt 2-2,2\sqrt 2+2\right]$
C: $\left[\dfrac{3-2\sqrt 2}{2},\dfrac{3+2\sqrt 2}{2}\right]$
D: $\left[3\sqrt 2-2,3\sqrt 2+2\right]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的定义
    >
    等张角线
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
【答案】
B
【解析】
问题的关键是正确地把握运动中的不变量．事实上，看起来非常复杂的 $B$、$C$ 两个点的运动，在其运动过程中，$OB$ 与 $OC$ 的垂直关系是始终不变的．因此，我们可以将正四面体 $ABCD$ 固定下来，而点 $O$ 在以 $BC$ 为直径的球面上运动，如图．接下来可以得到所求的点 $O$ 到直线 $AD$ 的距离的取值范围就是球心到直线 $AD$ 的距离减去球的半径与球心到直线 $AD$ 的距离加上球的半径之间，不难求出该取值范围是 $\left[2\sqrt 2-2,2\sqrt 2+2\right]$．
题目 答案 解析 备注
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