查看数据源：590ad1cf6cddca000a081a35
设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，过 $F$ 作 $AF$ 的垂线与双曲线交于 $B$、$C$ 两点，过 $B$、$C$ 分别作 $AC$、$AB$ 的垂线，两垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^2+b^2}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)$
B: $\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$
C: $\left(-\sqrt 2,0\right)\cup\left(0,\sqrt 2\right)$
D: $\left(-\infty,-\sqrt 2\right)\cup\left(\sqrt 2,+\infty\right)$
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
【答案】
A
【解析】
如图，根据已知条件 $\triangle BDF$ 与 $\triangle ABF$ 相似．于是$$BF^2=AF\cdot DF,$$即$$DF=\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2\cdot\dfrac{1}{c-a}<a+\sqrt{a^2+b^2}=c+a,$$整理得$$b^2<a^2,$$于是该双曲线渐近线的斜率的取值范围是 $\left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)$．
题目 答案 解析 备注
0.139842s