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在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt 3)$，$C(3,0)$，动点 $D$ 满足 $\left|\overrightarrow{CD}\right|=1$，则 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right|$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $[4,6]$
B: $\left[\sqrt{19}-1,\sqrt{19}+1\right]$
C: $\left[2\sqrt 3,2\sqrt 7\right]$
D: $\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    绝对值不等式
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    向量的换底公式
【答案】
D
【解析】
先化简欲求结论$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\left(-1,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{OD},$$考虑到核心条件 $\left|\overrightarrow{CD}\right|$ 的起点为 $C$，因此应用平面向量的换底公式将上式右侧改写为$$\left(-1,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CO}=\left(2,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{CD},$$进而由三角不等式得$$\left|\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow b\right|\right|\leqslant \left|\overrightarrow a\pm \overrightarrow b\right|\leqslant \left|\overrightarrow a\right|+\left|\overrightarrow b\right|,$$因此所求范围为$$\left[\left|\left(2,\sqrt 3\right)\right|-\left|\overrightarrow{CD}\right|,\left|\left(2,\sqrt 3\right)\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|\right],$$即 $\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$．
题目 答案 解析 备注
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