若在边长为 $1$ 的正三角形 $ABC$ 边 $BC$ 上有 $n$（$n\in\mathbb N^*\land n\geqslant 2$）等分点，沿向量 $\overrightarrow{BC}$ 的方向依次为 $P_1,P_2,\cdots,P_{n-1}$，记$$T_n=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_1}\cdot\overrightarrow{AP_2}+\cdots+\overrightarrow{AP_{n-1}}\cdot\overrightarrow{AC},$$若给出四个数值：
① $\dfrac{29}4$；② $\dfrac{91}{10}$；③ $\dfrac{197}{18}$；④ $\dfrac{232}{33}$，
则 $T_n$ 的值不可能的共有 \((\qquad)\)
① $\dfrac{29}4$；② $\dfrac{91}{10}$；③ $\dfrac{197}{18}$；④ $\dfrac{232}{33}$，
则 $T_n$ 的值不可能的共有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由于以 $A$ 为起点时各个向量的夹角未知，因此考虑将问题转化为以 $B$ 为起点的．
记 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BP_1}=\overrightarrow b$，则\[\begin{split}T_n&={\overrightarrow a}\cdot({\overrightarrow a}-{\overrightarrow b})+({\overrightarrow a}-{\overrightarrow b})\cdot ({\overrightarrow a}-2{\overrightarrow b})+\cdots+\left[{\overrightarrow a}-(n-1){\overrightarrow b}\right]\cdot\left({\overrightarrow a}-n{\overrightarrow b}\right)\\&=n\cdot ({\overrightarrow a}\cdot{\overrightarrow a})-\left[1+3+\cdots+(2n-1)\right]\cdot({\overrightarrow a}\cdot {\overrightarrow b})-\left[1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+(n-1)n\right]\cdot ({\overrightarrow b}\cdot{\overrightarrow b})\\&=n-n^2\cdot \dfrac {1}{2n}+\dfrac 13(n-1)n(n+1)\cdot \dfrac{1}{n^2}\\&=\dfrac{5n^2-2}{6n},\end{split}\]其中用到了裂项$$(n-1)n=\dfrac 13\left[(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\right].$$接下来进行验证，注意到若 $\dfrac{5n^2-2}{6n}=r$，则$$\dfrac 65r<n<\dfrac 65r+1,$$于是只需要验证 $n=9,11,14$ 的情况．
事实上，$T_9=\dfrac{403}{54}$，$T_{11}=\dfrac{201}{22}$，$T_{14}=\dfrac{163}{14}$，于是给出的四个数值均不可能为 $T_n$ 的取值．
记 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BP_1}=\overrightarrow b$，则\[\begin{split}T_n&={\overrightarrow a}\cdot({\overrightarrow a}-{\overrightarrow b})+({\overrightarrow a}-{\overrightarrow b})\cdot ({\overrightarrow a}-2{\overrightarrow b})+\cdots+\left[{\overrightarrow a}-(n-1){\overrightarrow b}\right]\cdot\left({\overrightarrow a}-n{\overrightarrow b}\right)\\&=n\cdot ({\overrightarrow a}\cdot{\overrightarrow a})-\left[1+3+\cdots+(2n-1)\right]\cdot({\overrightarrow a}\cdot {\overrightarrow b})-\left[1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+(n-1)n\right]\cdot ({\overrightarrow b}\cdot{\overrightarrow b})\\&=n-n^2\cdot \dfrac {1}{2n}+\dfrac 13(n-1)n(n+1)\cdot \dfrac{1}{n^2}\\&=\dfrac{5n^2-2}{6n},\end{split}\]其中用到了裂项$$(n-1)n=\dfrac 13\left[(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\right].$$接下来进行验证，注意到若 $\dfrac{5n^2-2}{6n}=r$，则$$\dfrac 65r<n<\dfrac 65r+1,$$于是只需要验证 $n=9,11,14$ 的情况．
事实上，$T_9=\dfrac{403}{54}$，$T_{11}=\dfrac{201}{22}$，$T_{14}=\dfrac{163}{14}$，于是给出的四个数值均不可能为 $T_n$ 的取值．
题目
答案
解析
备注
