已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和．若正整数 $i,j,k,l$ 满足 $i\leqslant k \leqslant l \leqslant j$，且 $i+j=k+l$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
在研究等差数列时，我们一般会选择用对称的方式设项，比如三项的等差数列设为$$a-d,a,a+d,$$四项的等差数列设为$$a-3d,a-d,a+d,a+3d,$$等等．因此可以将角标 $i,k,l,j$ 改设为$$m-n_1,m-n_2,m+n_2,m+n_1,$$其中 $n_1\geqslant n_2$．这样原问题就转化为研究$$f(n)=a_{m+n}\cdot a_{m-n}$$和$$g(n)=S_{m+n}\cdot S_{m-n}$$的单调性的问题．
事实上，不妨设 $a_n=a+nd$，$S_n=An^2+Bn$，则有$$ a_{m+n}\cdot a_{m-n}=\left[a+(m+n)d\right]\cdot \left[a+(m-n)d\right]=\left(a+md\right) ^2-n^2d^2,$$于是由 $n_1\geqslant n_2$ 可得$$f(n_1)\leqslant f(n_2),$$选项A正确，选项B错误．
而另一方面，\[\begin{split} S_{m+n}\cdot S_{m-n}&=\left[A(m+n)^2+B(m+n)\right]\cdot\left[A(m-n)^2+B(m-n)\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[A(m+n)+B\right]\cdot\left[A(m-n)+B\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[(Am+B)^2-A^2n^2\right], \end{split}\]因此 $g(n)$ 对 $n$ 并不具有一致的单调性，$g(n_1)$ 与 $g(n_2)$ 的大小关系不定，选项 C、D 错误．可以给出一组反例，对于等差数列 $a_n=n-4$，有 $S_n=\dfrac 12(n^2-7n)$，从而有$$S_1=-3,S_2=-5,S_3=-6,S_9=9,S_{10}=15,S_{11}=22,$$于是我们得到$$S_1S_3<S_2S_2,S_1S_{10}=S_2S_9,S_2S_{10}<S_1S_{11}.$$由此题可以看出，研究数列问题时对称的设参对于简化问题有很大的帮助．
事实上，不妨设 $a_n=a+nd$，$S_n=An^2+Bn$，则有$$ a_{m+n}\cdot a_{m-n}=\left[a+(m+n)d\right]\cdot \left[a+(m-n)d\right]=\left(a+md\right) ^2-n^2d^2,$$于是由 $n_1\geqslant n_2$ 可得$$f(n_1)\leqslant f(n_2),$$选项A正确，选项B错误．
而另一方面，\[\begin{split} S_{m+n}\cdot S_{m-n}&=\left[A(m+n)^2+B(m+n)\right]\cdot\left[A(m-n)^2+B(m-n)\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[A(m+n)+B\right]\cdot\left[A(m-n)+B\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[(Am+B)^2-A^2n^2\right], \end{split}\]因此 $g(n)$ 对 $n$ 并不具有一致的单调性，$g(n_1)$ 与 $g(n_2)$ 的大小关系不定，选项 C、D 错误．可以给出一组反例，对于等差数列 $a_n=n-4$，有 $S_n=\dfrac 12(n^2-7n)$，从而有$$S_1=-3,S_2=-5,S_3=-6,S_9=9,S_{10}=15,S_{11}=22,$$于是我们得到$$S_1S_3<S_2S_2,S_1S_{10}=S_2S_9,S_2S_{10}<S_1S_{11}.$$由此题可以看出，研究数列问题时对称的设参对于简化问题有很大的帮助．
题目
答案
解析
备注
