已知两个不相等的非零向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，两组向量 $\overrightarrow x_1 $，$\overrightarrow x_2$，$\overrightarrow x_3$，$\overrightarrow x_4$，$\overrightarrow x_5$ 和 $\overrightarrow y_1$，$\overrightarrow y_2$，$\overrightarrow y_3$，$\overrightarrow y_4$，$\overrightarrow y_5$ 均由 $2$ 个 $\overrightarrow a$ 和 $3$ 个 $\overrightarrow b$ 排列而成．记$$S = \overrightarrow x_1\cdot \overrightarrow y_1+ \overrightarrow x_2\cdot \overrightarrow y_2+ \overrightarrow x_3\cdot \overrightarrow y_3+ \overrightarrow x_4\cdot \overrightarrow y_4+ \overrightarrow x_5\cdot \overrightarrow y_5,$$${S_{\min }}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
记 $\big| \overrightarrow a\big|=m$，$\big|\overrightarrow b\big|=n$，$\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\theta$，按照计算 $S$ 的过程中 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a$ 出现的个数分为 $3$ 类：
第一类，$2$ 个 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a$，此时 $S=2m^2+3n^2$；
第二类，$1$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=m^2+2n^2+2mn\cos\theta$；
第三类，$0$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=n^2+4mn\cos\theta$．
于是 A 错误，事实上 $S$ 最多只有 $3$ 个不同取值；
注意到$$m^2+n^2\geqslant 2mn\geqslant 2mn\cos\theta,$$等号当且仅当 $m=n$ 且 $\theta=0$ 时，也即 $\overrightarrow a=\overrightarrow b$ 时取得，与题意不符．这样就有 $m^2+n^2>2mn\cos\theta$，进而$$2m^2+3n^2>m^2+2n^2+2mn\cos\theta>n^2+4mn\cos\theta,$$因此 $S$ 有 $3$ 个不同的取值，且 $S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta$．
B 错误，$S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta$，与 $\overrightarrow b$ 的长度有关；
C 正确，$S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta\geqslant n^2-4mn=n(n-4m)>0$；
D 错误，$S_{\min}=4m^2+8m^2\cos\theta=8m^2$，于是 $\cos\theta=\dfrac 12$，$\theta=\dfrac{\pi}3$．
第一类，$2$ 个 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a$，此时 $S=2m^2+3n^2$；
第二类，$1$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=m^2+2n^2+2mn\cos\theta$；
第三类，$0$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=n^2+4mn\cos\theta$．
于是 A 错误，事实上 $S$ 最多只有 $3$ 个不同取值；
注意到$$m^2+n^2\geqslant 2mn\geqslant 2mn\cos\theta,$$等号当且仅当 $m=n$ 且 $\theta=0$ 时，也即 $\overrightarrow a=\overrightarrow b$ 时取得，与题意不符．这样就有 $m^2+n^2>2mn\cos\theta$，进而$$2m^2+3n^2>m^2+2n^2+2mn\cos\theta>n^2+4mn\cos\theta,$$因此 $S$ 有 $3$ 个不同的取值，且 $S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta$．
B 错误，$S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta$，与 $\overrightarrow b$ 的长度有关；
C 正确，$S_{\min}=n^2+4mn\cos\theta\geqslant n^2-4mn=n(n-4m)>0$；
D 错误，$S_{\min}=4m^2+8m^2\cos\theta=8m^2$，于是 $\cos\theta=\dfrac 12$，$\theta=\dfrac{\pi}3$．
题目
答案
解析
备注
