如图，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直，直线 $l$ 为两个平面的交线．$A,C$ 是平面 $\alpha$ 内不同的两点，$B,D$ 是平面 $\beta$ 内不同的两点，且 $A,B,C,D\not\in l$．$M,N$ 分别是线段 $AB,CD$ 的中点．下列判断正确的是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
依次考虑四个选项．
选项 A，如图1，取与 $l$ 平行的平面，与 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别相交，在两条交线上取一条线段 $AB$，然后将这条线段绕其中点 $M$ 旋转，那么在旋转过程中必然可以找到长度是起始长度 $2$ 倍的位置，即线段 $CD$．因此选项 A 错误．
选项 B，由对选项 A 的分析可知，$M$、$N$ 可以重合，如图2，若 $M$ 与 $N$ 重合，那么 $AB$ 与 $CD$ 互相平分，因此 $ADBC$ 为平行四边形．对平行四边形所在平面与 $\alpha$、$\beta$ 应用引理即得$$AC\parallel BD\parallel l,$$因此选项 B 正确．
选项 C，若 $AB$ 与 $CD$ 相交，那么它们构成一个平面，对该平面与 $\alpha$、$\beta$ 应用引理即得$$AC\parallel l\parallel BD,$$因此选项 C 错误．
选项 D，如图3，当 $MN$ 与 $l$ 平行时，将线段 $AB$ 沿向量 $\overrightarrow {MN}$ 平移到 $A'B'$，则根据对选项 B 的分析，有$$CA'\parallel B'D\parallel l,$$又$$AA'\parallel BB'\parallel MN\parallel l,$$于是在平面 $\alpha$ 内，过 $A'$ 的平行线 $CA'$ 与 $AA'$ 重合，于是 $A$ 在平面 $A'CB'D$ 内，类似的，$B$ 也在平面 $A'CB'D$ 内，因此 $AB$ 与 $CD$ 共面．
选项 A，如图1，取与 $l$ 平行的平面，与 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别相交，在两条交线上取一条线段 $AB$，然后将这条线段绕其中点 $M$ 旋转，那么在旋转过程中必然可以找到长度是起始长度 $2$ 倍的位置，即线段 $CD$．因此选项 A 错误．
选项 B，由对选项 A 的分析可知，$M$、$N$ 可以重合，如图2，若 $M$ 与 $N$ 重合，那么 $AB$ 与 $CD$ 互相平分，因此 $ADBC$ 为平行四边形．对平行四边形所在平面与 $\alpha$、$\beta$ 应用引理即得$$AC\parallel BD\parallel l,$$因此选项 B 正确．选项 C，若 $AB$ 与 $CD$ 相交，那么它们构成一个平面，对该平面与 $\alpha$、$\beta$ 应用引理即得$$AC\parallel l\parallel BD,$$因此选项 C 错误．选项 D，如图3，当 $MN$ 与 $l$ 平行时，将线段 $AB$ 沿向量 $\overrightarrow {MN}$ 平移到 $A'B'$，则根据对选项 B 的分析，有$$CA'\parallel B'D\parallel l,$$又$$AA'\parallel BB'\parallel MN\parallel l,$$于是在平面 $\alpha$ 内，过 $A'$ 的平行线 $CA'$ 与 $AA'$ 重合，于是 $A$ 在平面 $A'CB'D$ 内，类似的，$B$ 也在平面 $A'CB'D$ 内，因此 $AB$ 与 $CD$ 共面．
题目
答案
解析
备注
