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在锐角三角形 $ABC$ 中，$\tan A=\dfrac 12$，$D$ 为 $BC$ 上的点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 $2$ 和 $4$，过 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=$  \((\qquad)\) ．
A: $-\dfrac{14}{15}$
B: $-1$
C: $-\dfrac{16}{15}$
D: $-\dfrac{6}{5}$
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    三角形面积公式
【答案】
C
【解析】
记 $A=\angle BAC$，注意到 $\overrightarrow{DE}$ 和 $\overrightarrow{DF}$ 的夹角为 $\pi-A$，因此问题的关键在于求 $DE\cdot DF$，而 $DE$、$DF$ 的"身份"分别为 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 的高，因此有\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}&=DE\cdot DF\cdot\cos (\pi -A)\\&=\dfrac{2S_{\triangle ABD}}{AB}\cdot\dfrac{2S_{\triangle ADC}}{AC}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{S_{\triangle ABC}}{6 \cdot AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\dfrac 12\sin A}{6}\\&=-\dfrac{16}{15}.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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