记 $\dfrac{1}{2\ln2 -1}-1=m$，则 $f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{1}{2(m+1)}$，而$$xf'(x)-f(x)=\dfrac{4x^2\ln x}{4x+m}.$$问题本质是研究 $f'(x)$ 的零点情况，于是设法获得关于 $f'(x)$ 以及其导函数 $f'^\prime(x)$ 的信息为第一要义．根据已知条件的结构，我们可以觉察出其中有破绽 $\dfrac{f(x)}x$，寻此破绽设法消去 $f(x)$ 就是解题的关键．
首先，两边同时除以 $x^2$，有$$ \left(\dfrac{f(x)}x\right)'=\dfrac{4\ln x}{4x+m}.\cdots (1)$$进而，移项整理得$$f'(x)=\dfrac{f(x)}{x}+\dfrac{4x\ln x}{4x+m},$$两边求导，可得$$f'^\prime (x)=\left(\dfrac{f(x)}x\right)'+\dfrac{16x+4m(1+\ln x)}{(4x+m)^2},$$将 $(1)$ 代入，有$$ f'^\prime (x)=\dfrac{4\ln x}{4x+m}+\dfrac{16x+4m(1+\ln x)}{(4x+m)^2},$$整理得$$ f'^\prime (x)=4(4x+2m)\cdot\dfrac{\ln x+1-\frac{m}{4x+2m}}{(4x+m)^2},\cdots (2)$$设 $(2)$ 中分子部分为 $\varphi (x)$，注意到 $\varphi\left(\dfrac 12\right)=0$ 且 $\varphi(x)$ 单调递增．
至此问题已经解决．
① 由 $\varphi (x)$ 的性质可得 $f'^\prime (x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上小于零，在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上大于零；
② $f'(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增，又 $f'\left(\dfrac 12\right)=0$，于是 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非负；
③ 进而可得函数 $f(x)$ 无极值点，答案 D 正确．