设 $p$ 是给定的正偶数，集合 $A_p=\{x\mid 2^p<x<2^{p+1},x=3m,m\in \mathbb N\}$ 的所有元素之和是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为\[\begin{split}&2^p+2\equiv (-1)^p+2 \equiv 1+2\equiv 0 \pmod 3,\\& 2^{p+1}-2\equiv 2(-1)^p-2 \equiv 2-2 \equiv 0 \pmod 3,\end{split}\]所以集合 $A_p$ 中的元素由小到大组成以 $3$ 为公差的等差数列，其首项为 $2^p+2$，末项为 $2^{p+1}-2$．
设集合 $A_p$ 中的元素共有 $n$ 个，由$$2^{p+1}-2=2^p+2+3(n-1),$$得$$n=\dfrac{2^p-1}{3}.$$因此集合 $A_p$ 的所有元素的和\[\begin{split}S&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\&=\dfrac{2^p-1}{3}\cdot \dfrac{2^p+2+2^{p+1}-2}{2}\\&=2^{2p-1}-2^{p-1}.\end{split}\]
设集合 $A_p$ 中的元素共有 $n$ 个，由$$2^{p+1}-2=2^p+2+3(n-1),$$得$$n=\dfrac{2^p-1}{3}.$$因此集合 $A_p$ 的所有元素的和\[\begin{split}S&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\&=\dfrac{2^p-1}{3}\cdot \dfrac{2^p+2+2^{p+1}-2}{2}\\&=2^{2p-1}-2^{p-1}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
