已知点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$，直线 $y=ax+b$（$a>0$）将 $\triangle ABC$ 分割为面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
动直线 $y=ax+b$ 的斜率为 $a$，纵截距为 $b$，且显然有 $b>0$．
注意到 $a>0$，考虑 $a$ 的两个边界的情形：
当 $a=0$ 时，可以通过直接计算面积得到$$b=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}.$$情形一 当 $b<1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时，结合图象易得右下方的面积始终比左上方的面积小．
情形二 当 $b>1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时，$a$ 从 $0$ 开始变化，（右）下方的面积开始时比（左）上方面积大，之后（右）下方面积开始减少，如果存在某个时候右下方的面积比左上方的面积小，因为面积连续变化，就能保证存在某个时刻两部分的面积相等．
我们去探索何时右下方的面积比左上方的面积小，此时考虑另一个边界 $a\rightarrow+\infty$ 的情形，如图：
右下方的面积大小取决于如图两块阴影面积的大小比较，可以怀疑当 $b=\dfrac 12$ 时，这两块面积接近相等．于是我们来分析 $b=\dfrac 12$ 的情形：
当 $b\geqslant \dfrac 12$ 时，右下方的面积始终比左上方的面积大（$y$ 轴左边的阴影三角形面积始终比右边的阴影三角形的面积大）．
而当 $b<\dfrac 12$ 时，当 $a\rightarrow+\infty$ 时，必然存在某个时候，右下方的面积比左上方的面积小．所以$$1-\dfrac{\sqrt 2}{2}<b<\dfrac 12$$为所求的范围．
注意到 $a>0$，考虑 $a$ 的两个边界的情形：
当 $a=0$ 时，可以通过直接计算面积得到$$b=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}.$$
我们去探索何时右下方的面积比左上方的面积小，此时考虑另一个边界 $a\rightarrow+\infty$ 的情形，如图：
右下方的面积大小取决于如图两块阴影面积的大小比较，可以怀疑当 $b=\dfrac 12$ 时，这两块面积接近相等．于是我们来分析 $b=\dfrac 12$ 的情形：当 $b\geqslant \dfrac 12$ 时，右下方的面积始终比左上方的面积大（$y$ 轴左边的阴影三角形面积始终比右边的阴影三角形的面积大）．
而当 $b<\dfrac 12$ 时，当 $a\rightarrow+\infty$ 时，必然存在某个时候，右下方的面积比左上方的面积小．所以$$1-\dfrac{\sqrt 2}{2}<b<\dfrac 12$$为所求的范围．
题目
答案
解析
备注
