设函数 $f(x)=\dfrac 1x$，$g(x)=ax^2+bx$（$a,b\in\mathbb R\land a\ne 0$）．若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
将右边化为常数（往往取 $0$）．注意此时可以利用 $0$ 乘以任何数仍然为 $0$ 对左边进行调整．
对于本题，可以将问题转化为函数$$h(x)=ax^3+bx^2-1$$有两个零点，由于 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=x(3ax+2b),$$由 $h(x)$ 有且仅有两个零点知 $h(x)$ 的极值点中必有一个为零点，于是函数的两个极值点分别对应点 $\left(0,-1\right)$ 和 $\left(-\dfrac{2b}{3a},0\right)$，因此对应的函数图象如下．
当 $a>0$ 时，如图．
当 $a<0$ 时，如图．
由三次函数的图象画法可得当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，且$$y_1+y_2=\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>0.$$当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，且$$y_1+y_2=\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0,$$因此正确的答案是B．
对于本题，可以将问题转化为函数$$h(x)=ax^3+bx^2-1$$有两个零点，由于 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=x(3ax+2b),$$由 $h(x)$ 有且仅有两个零点知 $h(x)$ 的极值点中必有一个为零点，于是函数的两个极值点分别对应点 $\left(0,-1\right)$ 和 $\left(-\dfrac{2b}{3a},0\right)$，因此对应的函数图象如下．
当 $a>0$ 时，如图．
当 $a<0$ 时，如图．由三次函数的图象画法可得当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，且$$y_1+y_2=\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>0.$$当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，且$$y_1+y_2=\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0,$$因此正确的答案是B．
题目
答案
解析
备注
