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已知 $a>0$，则 $x_0$ 满足关于 $x$ 的方程 $ax=b$ 的充要条件是 \((\qquad)\)
A: $\exists x\in\mathbb{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
B: $\exists x\in\mathbb{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
C: $\forall x\in\mathbb{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
D: $\forall x\in\mathbb{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
【难度】
【出处】
2010年高考辽宁卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
C
【解析】
题意即下面哪个选项等价于 $x_0=\dfrac ba$．
四个选项都是全称命题或存在性命题，如何透过抽象的数学符号看清选项的本质是解决本题的关键．
四个命题都是在处理函数$$f(x)=\dfrac 12ax^2-bx,$$这个函数的图象是一个开口向上的抛物线，当 $x=\dfrac ba$ 时，函数取到最小值，所以如果$$f(x)\geqslant f(x_0)$$恒成立，则$$x_0=\dfrac ba,$$从而选项C正确．
题目 答案 解析 备注
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