"对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$ "是" $k<1$ "的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
记 $p:\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right),k\sin x\cos x<x$，$q:k<1$，则 $p$ 等价于$$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),k\sin 2x<2x,$$我们熟知对任意 $x>0$，均有 $\sin x<x$，因此 $k=1$ 符合条件，但此时并不满足 $k<1$，因此 $p$ 是 $q$ 的不充分条件；
而另一方面，若 $k<1$，则 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),k\sin 2x<\sin 2x<2x$，因此 $p$ 是 $q$ 的必要条件；
综上，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件．
而另一方面，若 $k<1$，则 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),k\sin 2x<\sin 2x<2x$，因此 $p$ 是 $q$ 的必要条件；
综上，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件．
题目
答案
解析
备注
