数列的通项为$$a_n=1+10^2+10^4+\cdots+10^{2n-2}=\dfrac{100^n-1}{99}.$$情形一当 $n=2k,k\in\mathbb{N}^*$ 时，$$a_n=\dfrac{100^{2k}-1}{99}=\dfrac{100^k-1}{99}\cdot(100^k+1).$$因为 $99|(100^k-1)$，所以 $\dfrac{100^k-1}{99}\in\mathbb{N}$，当 $k>1$ 时，$99<100^k-1$，从而有 $a_n$ 为合数；
特别地，当 $k=1$ 时，$a_2=101$ 为素数；
情形二当 $n=2k+1$ 时，$$a_n=\dfrac {10^{2k+1}-1}{9}\cdot\dfrac{10^{2k+1}+1}{11}=\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}\cdot\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)},$$当 $k>0$ 时，$\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}$ 与 $\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)}$ 都为大于 $1$ 的整数，故 $a_n$ 为合数（也可以通过将 $10$ 写成 $9+1$ 与 $11-1$，由二项式定理得到这两个数为整数）．
特别地，当 $k=0$ 时，$a_1=1$ 既不是素数也不是合数．
综上知，该数列中有且只有一个素数，故选项C正确．