若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(0\right)=-1$，其导函数 $f'\left(x\right)$ 满足 $f'\left(x\right)>k>1$，则下列结论中一定错误的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
导函数 $f'(x)$ 满足 $f'(x)>k$，这提示我们构造函数 $g(x)=f(x)-kx$，该函数满足 $g(0)=-1$，且 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
由于 $\dfrac{1}{k-1}>\dfrac{1}{k}>0$，于是有$$g\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>g\left(\dfrac 1k\right)>g(0),$$即$$f\left(\dfrac{1}{k-1}\right)-\dfrac k{k-1}>f\left(\dfrac 1k\right)-1>-1,$$因此有$$f\left(\dfrac 1k\right)>0,f\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>\dfrac 1{k-1},$$故选项 C 的结论一定错误．
由于 $\dfrac{1}{k-1}>\dfrac{1}{k}>0$，于是有$$g\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>g\left(\dfrac 1k\right)>g(0),$$即$$f\left(\dfrac{1}{k-1}\right)-\dfrac k{k-1}>f\left(\dfrac 1k\right)-1>-1,$$因此有$$f\left(\dfrac 1k\right)>0,f\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>\dfrac 1{k-1},$$故选项 C 的结论一定错误．
题目
答案
解析
备注
