我们需要将“点 $P$ 到两个焦点的距离之比为 $2:1$”这一信息进行转化．
方案一到两个定点的距离之比为 $2:1$ 的点的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆），因此原问题就是椭圆（或双曲线）与两个圆是否存在公共点的问题．每个选项对应不同的圆，还需要考虑是否存在交点，并不简单，暂时舍弃这个方案．
方案二考虑椭圆（或双曲线）上的点到两个焦点的距离之比的取值范围．为了方便起见，考虑“较大的”比上“较小的”．
对于椭圆来说，这个比值的最小值为 $1$，因为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为定值，所以这个比值的最大值只需要考虑椭圆上一点到焦点的最大距离，显然为 $a+c$，于是比值的范围为$$\left[1,\dfrac {a+c}{a-c}\right].$$对于双曲线来说，设双曲线上的点到较近焦点的距离为 $m$，则这个比值为 $\dfrac {2a+m}{m}=\dfrac {2a}{m}+1$，因为 $m\in[c-a,+\infty)$，所以比值的取值范围为$$\left(1,\dfrac {c+a}{c-a}\right ].$$各个选项在这个比值上的取值范围分别为$$\left[1,\dfrac 53\right],\left[1,\dfrac 32\right ],\left(1,\dfrac 53\right ],\left(1,\dfrac {\sqrt 2+1}{\sqrt 2-1}\right ],$$由此判断只有选项 D 满足要求．
方案三由点 $P$ 到两个焦点的距离之比为 $2:1$ 计算出点 $P$ 对应的焦半径，再根据焦半径的范围去估计椭圆或双曲线的离心率．
对于椭圆，由点 $P$ 到两个焦点的距离之比为 $2:1$ 知焦半径分别为 $\dfrac {4a}{3}$ 与 $\dfrac{2a}{3}$．而椭圆的焦半径的取值范围为 $[a-c,a+c]$，所以有 $\dfrac 23a\geqslant a-c$，解得 $e\geqslant \dfrac 13$．类似地考虑双曲线，可得 $e\leqslant 3$．而各选项的离心率分别为$$\dfrac 14,\dfrac 15,4,\sqrt 2,$$故只有选项D符合要求．