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已知过点 $P\left(1,\dfrac 14\right)$ 的直线 $l_1,l_2$ 分别与椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 相交于点 $A,C$ 与 $B,D$，且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PD}$，则 \((\qquad)\)
A: $AB:x+y+\dfrac 18=0$
B: $AB:x+y+\dfrac 14=0$
C: $CD:x+y-2=0$
D: $CD:x+y-\dfrac 94=0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    定比分点坐标公式
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
【答案】
A
【解析】
设 $A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则$$\begin{cases}x_2=\dfrac{3\cdot 1-x_1}{2},\\ y_2=\dfrac{3\cdot \dfrac 14-y_1}{2},\end{cases}$$于是$$\dfrac{\left(\dfrac{3-x_1}2\right)^2}4+\left(\dfrac{\dfrac 34-y_1}{2}\right)^2=1,$$即$$\dfrac{x_1^2}4+y_1^2-\dfrac 32x_1-\dfrac 32y_1-\dfrac {19}{16}=0,$$也即$$x_1+y_1+\dfrac 18=0.$$类似的，点 $B(x_3,y_3)$ 的坐标也满足$$x_3+y_3+\dfrac 18=0,$$因此直线 $AB$ 的方程为$$x+y+\dfrac 18=0.$$用同样的方法，可以求出直线 $CD$ 的方程为$$x+y-\dfrac{31}{16}=0.$$
题目 答案 解析 备注
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