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已知圆柱形水杯质量为 $a$ 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为 $b$ 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处．下列说法正确的是 \((\qquad)\)
A: 若 $b=3a$，则装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为 $\dfrac{1}{{4}}$
B: 若 $b=3a$，则装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为 $\dfrac{7}{{20}}$
C: 水杯内装 $ \sqrt{{a^2} + ab}-a$ 克水可以使装入水后的水杯的重心最低
D: 水杯内装 $ \sqrt{{b^2} + ab}-b$ 克水可以使装入水后的水杯的重心最低
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    定比分点坐标公式
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
BC
【解析】
不妨设水杯高为 $1$，此时水杯质量与水的质量的比为 $2:3$，水杯的重心位置（我们用到水杯底面的距离表示位置）为 $\dfrac12$，水的重心位置为 $\dfrac{1}{4}$，所以装入半杯水的水杯的重心位置为$$\dfrac{{2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{4}}}{{2 + 3}} = \dfrac{7}{{20}}.$$当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装 $x$ 克水．此时水杯质量与水的质量的比为 $a:x$，水杯的重心位置为 $\dfrac12$，水的重心位置为 $\dfrac{x}{2b}$，水面位置为 $\dfrac{x}{b}$，于是$$\dfrac{a\cdot\frac12+x\cdot\frac{x}{2b}}{a+x}=\dfrac{x}{b},$$解得 $x=\sqrt{{a^2} + ab}-a$．
题目 答案 解析 备注
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