如图，圆 $O$ 的半径为 $r$，直角三角形 $ABC$ 的顶点 $A,B$ 在圆 $O$ 上，$\angle B$ 为直角，$\angle A$ 的大小为 $\theta$，$C$ 在圆内部（包括边界）．当点 $A$ 在圆 $O$ 上运动时，$OC$ 的最小值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
延长 $AC$ 交圆 $O$ 于 $D$，则由于 $\angle A$ 的大小为定值，于是 $D$ 为定点，且 $\angle DCB=\dfrac{\pi}2+\theta$ 为定值，所以 $C$ 的轨迹是圆弧．
设 $C$ 点的轨迹所在的圆圆心为 $I$，半径为 $r'$，则由于$$\dfrac 12BD=r\sin \theta,\dfrac 12\angle BID=\pi -\angle BCD=\dfrac{\pi}2-\theta,$$因此$$r'=r\tan\theta,$$而$$OI=r\cos\theta+r'\cos\left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)=r\cos\theta+r'\sin\theta,$$于是 $OC$ 的最小值为$$r\cos\theta+r'\sin\theta-r'=\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\cdot r.$$
设 $C$ 点的轨迹所在的圆圆心为 $I$，半径为 $r'$，则由于$$\dfrac 12BD=r\sin \theta,\dfrac 12\angle BID=\pi -\angle BCD=\dfrac{\pi}2-\theta,$$因此$$r'=r\tan\theta,$$而$$OI=r\cos\theta+r'\cos\left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)=r\cos\theta+r'\sin\theta,$$于是 $OC$ 的最小值为$$r\cos\theta+r'\sin\theta-r'=\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\cdot r.$$
题目
答案
解析
备注
