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已知平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 满足 $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$（$x,y\in\mathbb R$），且 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}>0$，$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow{c}>0$．则 \((\qquad)\)
A: 若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则 $x>0$，$y>0$
B: 若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则 $x<0$，$y<0$
C: 若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则 $x>0$，$y>0$
D: 若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则 $x<0$，$y<0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
【答案】
A
【解析】
我们知道，对于给定的一组基底，可以类比于平面直角坐标系定义对应的四个“象限”，如图．其中 $\overrightarrow{c}$ 的终点位于“第一象限”中时满足 $x>0$ 且 $y>0$，位于“第二象限”中时满足 $x<0$ 且 $y>0$，依次类推．
题意即若 $\overrightarrow{c}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角均为锐角或零角．
于是若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant 0$，那么 $\overrightarrow{c}$ 的终点必然在“第一象限”，如下图阴影区域左；
若 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，那么 $\overrightarrow{c}$ 可能在“第一、二、四象限”，如下图阴影区域右；
题目 答案 解析 备注
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