已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<\sqrt{6}$）的两个焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$，短轴的两个端点分别为 $B_1$ 和 $B_2$，点 $P$ 在椭圆 $G$ 上，且满足 $\left|PB_1\right|+\left|PB_2\right|=\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|$．当 $b$ 变化时，下列命题中正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AC
【解析】
对于 A，根据题意，$P(x,y)$ 满足\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\ \dfrac{y^2}{6}+\dfrac{x^2}{6-b^2}=1,\end{cases}\]因此点 $P$ 的轨迹关于 $y$ 轴对称．事实上，点 $P$ 的轨迹还关于 $x$ 轴和原点 $O$ 对称；
对于 B，由于 $P$ 点是两个椭圆的公共点，因此若命题 ② 成立，则对应的 $P$ 为椭圆 $G$ 的上下顶点或左右顶点，容易验证这两种情形都不符合题意；
对于 C，由于 $|OP|^2=x^2+y^2$，因此\[\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{b^2}=\dfrac{x^2}{6-b^2}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{6}=1,\]进而有\[x^2=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}{b^2}}{\dfrac 16-\dfrac 1{b^2}}=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}6}{\dfrac{1}{6-b^2}-\dfrac 16},\]化简得\[|OP|^2=6-\dfrac{1}{\dfrac{1}{6-b^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac 16}\geqslant 6-\dfrac{1}{\dfrac 23-\dfrac 16}=4,\]因此 $|OP|$ 的最小值为 $2$，当 $b=\sqrt 3$ 时取得．
对于 B，由于 $P$ 点是两个椭圆的公共点，因此若命题 ② 成立，则对应的 $P$ 为椭圆 $G$ 的上下顶点或左右顶点，容易验证这两种情形都不符合题意；
对于 C，由于 $|OP|^2=x^2+y^2$，因此\[\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{b^2}=\dfrac{x^2}{6-b^2}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{6}=1,\]进而有\[x^2=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}{b^2}}{\dfrac 16-\dfrac 1{b^2}}=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}6}{\dfrac{1}{6-b^2}-\dfrac 16},\]化简得\[|OP|^2=6-\dfrac{1}{\dfrac{1}{6-b^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac 16}\geqslant 6-\dfrac{1}{\dfrac 23-\dfrac 16}=4,\]因此 $|OP|$ 的最小值为 $2$，当 $b=\sqrt 3$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
