无穷等差数列 $\{a_n\}$ 的各项均为整数，首项为 $a_1$，公差为 $d$，$S_n$ 是其前 $n$ 项和，$3$，$21$，$15$ 是其中的三项，给出下列命题中，真命题有 \((\qquad)\)
① 对任意满足条件的 $d$，存在 $a_1$，使得 $99$ 一定是数列 $\{a_n\}$ 中的一项；
② 对任意满足条件的 $d$，存在 $a_1$，使得 $30$ 一定是数列 $\{a_n\}$ 中的一项；
③ 存在满足条件的数列 $\{a_n\}$，使得对任意的 $n\in\mathbb N^*$，$S_{2n}=4S_n$ 成立．
① 对任意满足条件的 $d$，存在 $a_1$，使得 $99$ 一定是数列 $\{a_n\}$ 中的一项；
② 对任意满足条件的 $d$，存在 $a_1$，使得 $30$ 一定是数列 $\{a_n\}$ 中的一项；
③ 存在满足条件的数列 $\{a_n\}$，使得对任意的 $n\in\mathbb N^*$，$S_{2n}=4S_n$ 成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
首先考虑条件：$3$，$21$，$15$ 是等差数列中的项，故它们的差 $18,6$ 是 $d$ 的整数倍，故 $6$ 是 $d$ 的整数倍．
因为$$99-21=78=6\times 13,$$而数列 $\{a_n\}$ 为无穷数列，所以一定存在 $a_1$，使得 $99$ 是数列中的项；事实上，只有 $d<0$ 时，才需要调整 $a_1$，使得 $a_1\geqslant 99$．命题 ① 正确．
因为$$30-21=9,$$而 $9$ 不能被 $6$ 整除，所以 $d=\pm 6$ 或 $d=\pm 2$ 时，$30$ 都不是数列中的项．命题 ② 错误．
因为 $\{a_n\}$ 为等差数列，所以 $S_{2n}=4S_n$ 即$$a_1\cdot 2n+\dfrac{2n(2n-1)}{2}\cdot d=4a_1n+2n(n-1)\cdot d,$$整理得$$d=2a_1.$$所以当 $d$ 为偶数 $\pm 2,\pm 6$ 时，存在 $a_1=\dfrac d2$ 满足条件．命题 ③ 正确．
因为$$99-21=78=6\times 13,$$而数列 $\{a_n\}$ 为无穷数列，所以一定存在 $a_1$，使得 $99$ 是数列中的项；事实上，只有 $d<0$ 时，才需要调整 $a_1$，使得 $a_1\geqslant 99$．命题 ① 正确．
因为$$30-21=9,$$而 $9$ 不能被 $6$ 整除，所以 $d=\pm 6$ 或 $d=\pm 2$ 时，$30$ 都不是数列中的项．命题 ② 错误．
因为 $\{a_n\}$ 为等差数列，所以 $S_{2n}=4S_n$ 即$$a_1\cdot 2n+\dfrac{2n(2n-1)}{2}\cdot d=4a_1n+2n(n-1)\cdot d,$$整理得$$d=2a_1.$$所以当 $d$ 为偶数 $\pm 2,\pm 6$ 时，存在 $a_1=\dfrac d2$ 满足条件．命题 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
