设点 $P(x,y)$ 是曲线 $a|x|+b|y|=1$（$a>0,b>0$）上的动点，且始终满足 $\sqrt{x^2+y^2+2y+1}+\sqrt{x^2+y^2-2y+1}\leqslant 2\sqrt 2$，则 $a+\sqrt 2b$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有$$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2}\leqslant 2\sqrt 2,$$于是 $P$ 点在以 $F_1(0,-1)$，$F_2(0,1)$ 为焦点，$2\sqrt 2$ 为长轴长的椭圆 $\dfrac{y^2}2+x^2=1$ 内部（包含边界）．而曲线 $a|x|+b|y|=1$（$a>0,b>0$）表示菱形 $ABCD$，其中 $A\left(\dfrac 1a,0\right)$，$B\left(0,\dfrac 1b\right)$，$C\left(-\dfrac 1a,0\right)$，$D\left(0,-\dfrac 1b\right)$．这样就有$$\dfrac 1a\leqslant 1,\dfrac 1b\leqslant \sqrt 2,$$于是 $a+\sqrt 2b$ 的取值范围是 $\left[2,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
