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设非零向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 满足 $\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow a -\overrightarrow b$ 的夹角为 $\alpha$，$\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow b- \overrightarrow a$ 的夹角为 $\beta$，有$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$记 $\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则 $\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$ 的最小值为 \((\qquad)\) ．
A: $\sqrt 2$
B: $\dfrac 32$
C: $\dfrac{\sqrt{10}}2$
D: $\sqrt 3$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆离心率的三角表示
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    等效判别式
【答案】
C
【解析】
如图，三角形 $APB$ 中，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow b$，$AB=2$，$\angle BAP=\alpha$，$\angle ABP=\beta$．由已知条件得$$4\left(2\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2-1\right)-\left(2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2-1\right)+3=0,$$即$$4\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2,$$也即$$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos\dfrac{\alpha-\beta}2,$$两边同乘 $2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2$，可得$$2\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta,$$根据正弦定理，有$$PA+PB=2AB=4,$$于是建立下图的直角坐标系后 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上运动（除去长轴端点）．记 $\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {c}$，则由 $\overrightarrow c=2\overrightarrow b-\overrightarrow a$ 可得 $B$ 为线段 $AC$ 的中点，即 $C(3,0)$．所求代数式为 $\overrightarrow{CB}$ 在 $\overrightarrow{CP}$ 上的投影的最小值．由于 $BC=2$ 为定值，于是当 $CP$ 与椭圆相切时，题中代数式取得最小值 $2\cos\theta$，其中 $\theta=\angle PCB$．
设直线 $CP:x-my-3=0$，则由直线与椭圆联立的等效判别式可得$$4+3m^2=9,$$从而$$\tan\angle PCB=\dfrac 1{|m|}=\sqrt{\dfrac 35},$$进而$$2\cos\theta=2\cdot \sqrt{\dfrac 58}=\dfrac{\sqrt {10}}2,$$因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{10}}2$．
题目 答案 解析 备注
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