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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的两焦点是 $F_1,F_2$，点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $0<\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2<1$，则 \((\qquad)\)
A: $|PF_1|+|PF_2|$ 的最小值为 $2$
B: $|PF_1|+|PF_2|$ 的最大值为 $2\sqrt 2$
C: 直线 $\dfrac{x_0x}{2}+y_0y=1$ 与椭圆 $C$ 的交点的个数是 $1$
D: 直线 $\dfrac{x_0x}{2}+y_0y=1$ 与椭圆 $C$ 的交点的个数是 $2$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    切线方程
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
【答案】
A
【解析】
由\[0<\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2<1\]可知点 $(x_0,y_0)$ 为椭圆内的点（不包含原点），结合椭圆定义，知 $|PF_1|+|PF_2|$ 的取值范围是 $\left[2,2\sqrt2\right)$．在椭圆上任取一点 $(x_1,y_1)$，则有$$\dfrac{x_0x_1}{2}+y_0y_1<1,$$因此椭圆在直线的一侧，故椭圆与直线的交点个数为 $0$．
题目 答案 解析 备注
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