如图，$AD$ 与 $BC$ 是四面体 $ABCD$ 中互相垂直的棱，$BC=2$．若 $AD=2c$，且 $AB+BD=AC+CD=2a$，其中 $a,c$ 为常数，则四面体 $ABCD$ 的体积的最大值是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2012年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本问题中，$AB+BD=AC+CD=2a$ 描述的事实为 $B$ 点和 $C$ 点到两定点 $A,D$ 的距离之和为 $2a$，于是点 $B,C$ 都在以 $A,D$ 为焦点的椭球上，如图．利用椭球，不难对四面体 $ABCD$ 的顶点 $B$ 和 $C$ 进行“GPS定位”．
由于 $AD\perp BC$，于是 $BC$ 必然为某个垂直于 $AD$ 的平面截椭球形成的圆的弦，且 $d(AD,BC)$ 即该圆的圆心到弦的距离．
我们知道，当弦长固定时，圆的半径越大，圆心到弦的距离越大．于是当 $BC$ 为过线段 $AD$ 中点的截面的弦时，四面体 $ABCD$ 的体积最大，此时由垂径定理不难得到$$d(AD,BC)=\sqrt{a^2-c^2-1},$$进而可以计算得$$V_{ABCD}=\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}.$$
由于 $AD\perp BC$，于是 $BC$ 必然为某个垂直于 $AD$ 的平面截椭球形成的圆的弦，且 $d(AD,BC)$ 即该圆的圆心到弦的距离．我们知道，当弦长固定时，圆的半径越大，圆心到弦的距离越大．于是当 $BC$ 为过线段 $AD$ 中点的截面的弦时，四面体 $ABCD$ 的体积最大，此时由垂径定理不难得到$$d(AD,BC)=\sqrt{a^2-c^2-1},$$进而可以计算得$$V_{ABCD}=\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}.$$
题目
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