首先简化含 $\lambda$ 的表达式：\[\lambda=\dfrac{\sin C}{\cos C}\cdot\left(\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}\right)=\dfrac{\sin^2C}{\sin A\cdot\sin B\cdot \cos C}=\dfrac{c^2}{ab\cos C}.\]接下来处理核心条件 $AG\perp BG$．
记 $\overrightarrow {CA}=\overrightarrow m$，$\overrightarrow {CB}=\overrightarrow n$，则 $\overrightarrow {CG}=\dfrac 13\overrightarrow m+\dfrac 13\overrightarrow n$，于是\[\begin{split} \overrightarrow {AG}\cdot \overrightarrow {BG}&=\left(\overrightarrow {CG}-\overrightarrow {CA}\right)\cdot\left( \overrightarrow {CG}-\overrightarrow {CB}\right)\\&=\left(-\dfrac 23\overrightarrow m+\dfrac 13\overrightarrow n\right) \cdot\left(\dfrac 13\overrightarrow m-\dfrac 23\overrightarrow n\right)\\&=-\dfrac 19\left( 2\overrightarrow m\cdot \overrightarrow m+2\overrightarrow n\cdot \overrightarrow n-5\overrightarrow m\cdot\overrightarrow n\right)\\&=-\dfrac 19\left(2a^2+2b^2-5ab\cos C\right),\end{split}\]于是$$\lambda=\dfrac{a^2+b^2-2ab\cos C}{ab\cos C}=\dfrac 12.$$