先证明 $S$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}4$．设 $\triangle ABC$ 内接于单位圆 $O$，且顶点按逆时针排列．设弧 $AB,BC,CA$ 所对的圆心角分别为 $\alpha$，$\beta$，$2\pi -\alpha-\beta$，不妨设 $\alpha,\beta\in (0,\pi]$，则\begin{eqnarray*}\begin{split} S&\leqslant \dfrac 12\left[\sin\alpha+\sin\beta-\sin\left(\alpha+\beta\right)\right]\\
&\leqslant \dfrac 12\left[\left(1-\cos\beta\right)\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha+\sin\beta\right]\\
&\leqslant \dfrac 12\left[\sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\sin\beta\right]\\
&=\dfrac 12\left[\sqrt{2-2\cos\beta}+\sin\beta\right]\\
&=\sin\dfrac{\beta}2\left(1+\cos\dfrac{\beta}2\right)
,\end{split} \end{eqnarray*}令 $t=1+\cos\dfrac{\beta}2$，则 $t\in[1,2)$，有$$S\leqslant t\sqrt{1-(t-1)^2}=\sqrt{t^3(6-3t)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt 3}\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}4,$$当 $\triangle ABC$ 为正三角形取得等号．因此 $S$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}4$，而在 $\left(0,\dfrac{3\sqrt 3}4\right]$ 上，$4S+\dfrac{9}S$ 单调递减，于是所求的最小值为$$\left.\left(4S+\dfrac 9S\right)\right|_{S=\frac{3\sqrt 3}4}=7\sqrt 3.$$