题目

查看数据源：59ccaf688bc51d0007fbd40d

以 $A$ 表示值域为 ${\mathbb{R}}$ 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi \left(x\right)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi \left(x\right)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi \left(x\right)$ 的值域包含于区间 $\left[ - M,M\right]$．例如，当 ${\varphi _1}\left(x\right) ={x^3}$，${\varphi _2}\left(x\right) = \sin x$ 时，${\varphi _1}\left(x\right) \in A$，${\varphi _2}\left(x\right) \in B$．下列命题中真命题有 $(\qquad)$

A: 设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $D$，则“$f\left(x\right) \in A$”的充要条件是“$\forall b \in{\mathbb{R}}$，$\exists a \in D$，$f\left(a\right) = b$”

B: 函数 $f\left(x\right) \in B$ 的充要条件是 $f\left(x\right)$ 有最大值和最小值

C: 若函数 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 的定义域相同，且 $f\left(x\right) \in A$，$g\left(x\right) \in B$，则 $f\left(x\right) + g\left(x\right) \notin B$

D: 若函数 $f\left(x\right) = a\ln \left(x + 2\right) + \dfrac{x}{{{x^2}+ 1}}\left(x > - 2 , a \in{\mathbb{R}}\right)$ 有最大值，则 $f\left(x\right) \in B$

【难度】

【出处】

2014年高考四川卷（文）

【标注】

知识点
>
函数
>
函数的图象与性质
>
函数的有界性

【答案】

ACD

【解析】

集合 $A$ 中的函数即值域为 ${\mathbb R}$ 的函数，集合 $B$ 中的函数即有界函数．
命题 A “$\forall b \in{\mathbb{R}}$，$\exists a \in D$，$f\left(a\right) = b$”的含义为“对于实数集合内的任何一个取值 $b$，都存在一个定义域内的取值 $a$ 使得函数 $f(x)$ 在 $a$ 处的函数值为 $b$”，也就说函数 $f(x)$ 的值域为 ${\mathbb R}$，因此命题正确．
命题 B $f\left(x\right)$ 有最大值和最小值是函数 $f\left(x\right) \in B$ 的充分但不必要条件，有界函数不一定有最值，如函数 $f(x)=\arctan x$．因此命题错误．
命题 C 命题正确，否则若 $f(x)+g(x)$ 和 $g(x)$ 都有界，分别设它们的界为 $M_1$ 和 $M_2$，则\[\left|\left[f(x)+g(x)\right]-g(x)\right|\leqslant |f(x)+g(x)|+|g(x)|\leqslant M_1+M-2,\]于是 $M_1+M_2$ 一定是函数 $f(x)$ 的界，与函数 $f(x)$ 的值域为 ${\mathbb R}$ 矛盾．
命题 D 由于\[-\dfrac 12\leqslant \dfrac{x}{x^2+1}\leqslant \dfrac 12,\]因此函数 $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ 有界．因此若函数 $f(x)$ 有最大值，那么 $a=0$，因此函数\[f(x)=\dfrac{x}{x^2+1},\]为有界函数，命题正确．